SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

1.         Sistem Persamaan Linear

a.    Persamaan Linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Benjtuk umum persamaan linear satu variabel adalah:

ax + b = c, dengan a ≠0

b.    Persamaan linear dua veriabel adalah persamaan linear yang mengandung variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel:

ax + by = c, dengan a ≠0 dan b≠0

2.         Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) 

Sistem persamaan linear dua veriabel adalah sistem persamaan yang menandung paling sedikit sepasang (dua buah) persamaan linear dua vartiabel yang hanya mempunya satu penyelesaian.Sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel x dan y secara umum ditulis sebagai berikut:

`

dengan 

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat digunakan metode-metode di bawah ini:
a. Metode grafrik
b. Metode subtitusi
c. Metode eliminasi

d. Metode eliminasi-subtitusi

a. Metode Grafik
Metode grafik adalah metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya. Langkah-langkah menggambar grafik:

1. Menggambar grafik masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesisus dengan menggunakan metode titik potong sumbu
2. Bila kedua garis berpotongan pada sebuah titik maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki sebuah anggota, yaitu {(x,y)}.
3. Bila kedua garis itu sejajar (tidak berpotongan) maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota, yaitu {} (himpunan kosong)
4. Bila kedua garis itu berimpit, maka himpanan penyelesaiannya memiliki anggota yang tak banyak hingganya.

Contoh soal (EBTANAS 2000)
Jika x dan y memenuhi sistem persamaan :
Nilai x + y sama dengan .....
A. 6      B. 4      C. -2      D. -6      E. -8
Pembahasan:
Grafik persamaan garis 2x + y = 5
* Titik potong dengan sumbu x, maka y = o
   2x + 0 = 5
   <=> 2x = 5
   <=> x = 5/2
   Titik potongnya (5/2 , 0)
* Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0
   2(0) + y = 5 <=> y = 5
   Titik potong (0,5)
Grafik persamaan garis 3x - 2y = -3
* Titik potong dengan sumbu x, maka y = 0
   3x - 2(0) = -3
   <=> x = -1
   Titik potong (-1,0)
* Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0
   3(0) - 2y = -3
   <=> y = 3/2
   Titik potong (0, 3/2)
Garis 2x + y = 5 dan garis 3x - 2y = -3 berpotongan di titik (1,3)  yang berarti x = 1 dan y = 3.
Jadi, x + y = 1 + 3 = 4 --------> Jawaban: B. 4

b. Metode Subtitusi
Metode subtitusi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan lain. Langkah-langkah menggunakan metode subtitusi:

1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebegai fungsi x
2. Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya  

Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian sistem persamaan :    adalah . . . . .
A. {(2,2)}      B. {(2,4)}     C. {(4,2)}     D. {(1,2)}     E. {(2,1)}
Pembahasan:
Dari persamaan 4x + y = 12 <=> y = 12 - 4x .......(1)
Subtitusi persamaan (1) ke persamaan 2x + y = 8, diperoleh:
2x + (12 - 4x) = 8
<=> 2x + 12 - 4x = 8
<=> -2x = 8 - 12
<=> -2x = -4
<=> x = 2
Subtitusi nilai x = 2 ke persamaan (1) diperoleh:
y = 12 - 4(2)
y = 12 - 8
y = 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,4)} -----> Jawaban: B

c. Metode Eliminasi
Metode eliminasi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Langkah-langkah menggunakan metode eliminasi:
1. Perhatikan koefisien x (atau y)
a. Jika koefisiennya sama:
        i)  Lakukan operasi pengurangan untuk tanda yang sama
        ii) Lakukan operasi penjumlahan untuk tanda yang berbeda
b. Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan cara mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan operasi penjumlahan atau pengurangan seperti pada langkah sebelumnya.
2. Lakukan kembali langkah (1) untuk mengeliminasi variabel lainnya.

Contoh soal:
Himpunan penyelesaian sistem persamaan:  adalah {(p.q)}. Nilai p - q = .....
A. 0     B. 1     C. -1     D. 2     E. -2
Pembahasan:
Mengeliminasi variabel x
7x + 5y = 2   |x5| 35x + 25y = 10
5x + 7y = -2 |x7|  35x + 49y = -14 -
                                    -24y = 24
                                         y = -1
Mengeliminasi variabel y
7x + 5y = 2   |x7| 49x + 35y = 14
5x + 7y = -2 |x5|  25x + 35y = -10 -
                                     24x = 24
                                         x = 1
Himpunan penyelesaiannya {(p,q)} = {(-1,1)}
Nilai p - q = 1-(-1) = 2 --------> Jawaban: D

d. Metode Eliminasi-Subtritusi 

Metode eliminasi-subtitusi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan metode subtitusi. Metode elminasi digunakan untuk mendapatkan variabel pertama dan hasilnya disubtitusikan ke persamaan untuk mendapatkan variabel kedua.

Contoh Soal:
Di sebuah toko, Rabil membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan hargar Rp 4000,- Mazlan membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp 9.500,- Alif ingin membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga....
Pembahasan:
Misal: Barang A =  A dan Barang B = B
Diketahui:
Rabil => 4A + 2B = 4000 <=> 8A + 4B = 8000
Mazlan => 10A + 4B = 9500
Alif => A + B = .....?
Dengan menggunakan eliminasi:
8A + 4B = 8000
10A + 4B = 9500 -
<=> -2A = -1500
<=> A = 750
Subtitusi nilai A = 750 ke salah satu persamaan, diperoleh:
4(750) + 2B = 4000
<=>  3000 + 2B = 4000
<=> 2B = 1000
<=> B = 500
Maka A + B = 750 + 500 = 1.250
Jadi, harga sebuah barang A dan sebuah barang B adalah Rp 1.250,-